✎☛ Déterminer si deux droites sont parallèles

Méthode

On utilise la propriété suivante.
Soit \(d_1\) ,  \(d_2\) deux droites de vecteurs directeurs respectifs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) .
Les droites \(d_1\)  et \(d_2\) sont parallèles si et seulement si   \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.

Énoncé

Le plan est muni d'un repère.

1. Soit \(d\) et \(d'\) deux droites définies par leurs représentations paramétriques (avec \(t\) et \(s\) réels).

\(d\begin{cases} x = 1-3t \\ y = 1+t \\ z = -3+2t \\ \end{cases}\) et  \(d'\begin{cases} x = 6s \\ y = 1-2s \\ z = 3-4s \\ \end{cases}\) . Ces droites sont-elles parallèles ?

2. Soit \(d\) et \(\Delta\)  deux droites définies par leurs représentations paramétriques (avec \(t\) et \(k\) réels).

\(d\begin{cases} x = 3t+2 \\ y = -t-1 \\ z = t+1 \\ \end{cases}\) et  \(\Delta\begin{cases} x = k+1 \\ y = 2k-3 \\ z = -k+2 \\ \end{cases}\) . Ces droites sont-elles parallèles ?

Solution

1.  \(d\) est dirigée p ar   \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3\\1\\2\\ \end{pmatrix}\) ,  \(d'\) est dirigée p ar  \(\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} 6\\-2\\-4\\ \end{pmatrix}\) .
On constate que  \(\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u}\) , donc les vecteurs directeurs des deux droites sont colinéaires. 

Les deux droites sont donc parallèles.

2.   \(d\) est dirigée par  \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3\\-1\\1\\ \end{pmatrix}\) ,   \(\Delta\) est dirigée  par  \(\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1\\2\\-1\\ \end{pmatrix}\) .
On constate que \(3\times 2=6\)  et \(1\times (-1)=-1\) . Les produits en croix sont donc différents. Les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles, ce qui signifie que les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. 
Les deux droites ne sont donc pas parallèles.